Thực đơn
Không_gian_mêtric
Cho d 1 , d 2 {\displaystyle d_{1},d_{2}} là 2 metric trên X. 2 metric này gọi là tương đương nếu tồn tại α , β > 0 {\displaystyle \alpha ,\beta >0} sao cho
α d 1 ( x , y ) < d 2 ( x , y ) < β d 1 ( x , y ) {\displaystyle \alpha d_{1}\left(x,y\right)<d_{2}\left(x,y\right)<\beta d_{1}\left(x,y\right)} .Ví dụ3 metric d 1 ( x , y ) , d ( x , y ) {\displaystyle d_{1}\left(x,y\right),d\left(x,y\right)} và d ∞ ( x , y ) {\displaystyle d_{\infty }\left(x,y\right)} là tương đương với nhau trên R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} :2 metric d ( x , y ) {\displaystyle d\left(x,y\right)} và d ′ ( x , y ) = min { 1 , d ( x , y ) } {\displaystyle d'\left(x,y\right)=\min \left\{1,d\left(x,y\right)\right\}} không tương đương với nhau trên X nhưng sinh ra cùng topo trên XCho ( X , d ) {\displaystyle \left(X,d\right)} là không gian metric, một tập con A ⊂ X {\displaystyle A\subset X} gọi là chặn theo d nếu tồn tại μ > 0 {\displaystyle \mu >0} sao cho d ( x , y ) < μ {\displaystyle d\left(x,y\right)<\mu } ; ∀ {\displaystyle \forall } x , y ∈ A {\displaystyle x,y\in A} .
Nếu bản thân X bị chặn theo d thì nói d là metric bị chặn.[6]
Cho ( X , d ) {\displaystyle \left(X,d\right)} là không gian metric, một song ánh f : X → Y {\displaystyle f:\,X\rightarrow Y} được gọi là đẳng cấu đẳng cự (isometry) nếu d X ( x , x ′ ) = d Y ( f ( x ) , f ( x ′ ) ) {\displaystyle d_{X}\left(x,x'\right)=d_{Y}\left(f\left(x\right),f\left(x'\right)\right)} , ∀ {\displaystyle \forall } x , x ′ ∈ X {\displaystyle x,x'\in X}
Nếu f : X → Y {\displaystyle f:\,X\rightarrow Y} là một isometry thì có thể nói các không gian metric X,Y là đẳng cự (isometric)[7].
Cho ( X , d ) {\displaystyle \left(X,d\right)} là không gian topo, X là không gian mêtric hóa được (metrizable) nếu tồn tại một metric d trên X mà nó sinh ra topo trên X [8].
Ví dụ: Xét topo Euclid trên đường tròn S 1 = { ( x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 = 1 } {\displaystyle S^{1}=\lbrace {(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\rbrace }} như một không gian con thừa hưởng topo Euclid trên mặt phẳng R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} .
Topo này metric hóa được do:
Một cơ sở trên S 1 ⊂ R 2 {\displaystyle S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}} có được bằng cách giao các quả cầu mở trong R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} với S 1 {\displaystyle S^{1}} .
Xét metric trên S 1 {\displaystyle S^{1}} được xác định bằng cách đặt d ( p , q ) = min { ϕ : 0 ≤ ϕ } {\displaystyle d(p,q)=\min \lbrace {\phi :0\leq \phi \rbrace }} (tính theo radian) là góc không âm nhỏ nhất sao cho đường tròn điểm p và q trùng nhau.
Với metric này, các quả cầu mở sẽ là những khoảng mở trên đường tròn nên cơ sở của các quả cầu mở cho topo trên S 1 {\displaystyle S^{1}} sinh ra bởi d {\displaystyle d} có cùng cơ sở như topo Euclid trên S 1 {\displaystyle S^{1}} .
Chứng minh:
Xét chiều ( ⇒ ) {\displaystyle \left(\Rightarrow \right)} . Giả sử τ ′ {\displaystyle \tau '} mịn hơn τ {\displaystyle \tau } .Khi đó mỗi tập mở trong τ {\displaystyle \tau } là mở trong τ ′ {\displaystyle \tau '} , hay ∀ {\displaystyle \forall } x ∈ X {\displaystyle x\in X} , ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} , B d ( x , ϵ ) {\displaystyle B_{d}\left(x,\epsilon \right)} mở trong τ {\displaystyle \tau } do đó mở trong τ ′ {\displaystyle \tau '} Do B d ( x , ϵ ) {\displaystyle B_{d}\left(x,\epsilon \right)} mở trong τ ′ {\displaystyle \tau '} và chứa 'x'.Theo Định lý 1.3.1 thì có δ > 0 {\displaystyle \delta >0} sao cho B d ′ ( x , δ ) ⊂ B d ( x , ϵ ) {\displaystyle B_{d'}\left(x,\delta \right)\subset B_{d}\left(x,\epsilon \right)} Xét chiều ( ⇐ ) {\displaystyle \left(\Leftarrow \right)} với mỗi x ∈ X {\displaystyle x\in X} , ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} , tồn tại δ > 0 {\displaystyle \delta >0} sao cho B d ′ ( x , δ ) ⊂ B d ( x , ϵ ) {\displaystyle B_{d'}\left(x,\delta \right)\subset B_{d}\left(x,\epsilon \right)} .Cần chứng minh τ ′ {\displaystyle \tau '} mịn hơn τ {\displaystyle \tau } .Lấy 'U' mở trong τ {\displaystyle \tau } , điều cần chứng minh nó mở trong τ ′ {\displaystyle \tau '} .Lấy x ∈ U {\displaystyle x\in U} bất kỳ, do U {\displaystyle U} mở trong τ {\displaystyle \tau } nên theo Định lý 1.3.1 thì có ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} sao cho B d ( x , ϵ ) ⊂ U {\displaystyle B_{d}\left(x,\epsilon \right)\subset U} Giả sử có δ > 0 {\displaystyle \delta >0} sao cho B d ′ ( x , δ ) ⊂ B d ( x , ϵ ) ⊂ U {\displaystyle B_{d'}\left(x,\delta \right)\subset B_{d}\left(x,\epsilon \right)\subset U} , hay B d ′ ( x , δ ) ⊂ U {\displaystyle B_{d'}\left(x,\delta \right)\subset U} .Điều này dẫn đến với mỗi x ∈ U {\displaystyle x\in U} , có một δ > 0 {\displaystyle \delta >0} sao cho B d ′ ( x , δ ) ⊂ U {\displaystyle B_{d'}\left(x,\delta \right)\subset U} .Theo Định lý 1.3.1, U {\displaystyle U} mở trong τ ′ {\displaystyle \tau '} (điều phải chứng minh)Nếu ( X , d ) {\displaystyle \left(X,d\right)} là không gian topo metric hóa và Y đồng phôi với X thì Y cũng metric hóa được.[11]
Một không gian metric là compact nếu và chỉ nếu mọi dãy đều có dãy con hội tụ. Hay:
Cho ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} là không gian metric, ta nói X {\displaystyle X} compact nếu và chỉ nếu mọi dãy ( x n ) ∈ X {\displaystyle \left(x_{n}\right)\in X} đều có dãy con ( x n m ) {\displaystyle \left(x_{n_{m}}\right)} của x n {\displaystyle x_{n}} hội tụ trong X {\displaystyle X} .[12]
Hơn nữa, nếu A ⊂ R n {\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}} là tập con compact trong R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} với ( R n , d ) {\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n},d\right)} là không gian metric Euclide với topo Euclide thì A {\displaystyle A} đóng và bị chặn.[13]
Thực đơn
Không_gian_mêtricLiên quan
Tài liệu tham khảo
WikiPedia: Không_gian_mêtric